【数学】高校数学が使える身近な道路標識

 

さて、こんな道路標識を見たことはあるでしょうか？

どんなところにあるかは、何となく標識を見ればお分かりですね。

(分からなかったら、標識として失格ですねぇ笑)

この標識は「勾配」、つまり坂道の傾斜の緩急を一目で表した…(つもりの)標識です。

ですが、これを見て「どのくらい急なの？」ということをパッとイメージできる人は少ないと思います。

これでは標識として意味ないですよねぇ。

 では、もっと坂道をイメージしやすい指標はなんでしょうか？

そう、坂の傾斜（「角度」）が分かるとイメージしやすいですよね。

実は、この標識を見ただけで、 この坂の傾斜が分かります！

どうやって傾斜が分かるのかというと、「高校数学」の知識を使うと、

あっという間にわかってしまいます。

そもそもここに書いてある10%というのは、

直線距離1000m進んだときに、100m高さが上がるか、という意味なのです。

イメージは下記の図の通り。

  

標識の10%というのは、1000m進んだときに何m高さが上がるか、その割合のことです。

この場合、100/1000=0.1=10%というわけです。

ここで知りたいのは、このときに何°の傾斜がついているかということです。

ここで、高校数学で学習する「三角比」というものが使えます。

三角比とは、下のようなある角度θの直角三角形のある1つの辺の長さともう1つの辺の長さの比のことです。たとえば、下の三角形の各辺の長さをa,b,cとおきます。すると、

c／bをsinθ、a/bをcosθ、c/aをtanθとおくと決められました。

tanθ=0.1になるのはだいたい6°くらい

 なんと、このsinθ、cosθ、tanθというのは、角度θによって決まった値をとっていて、古代ギリシャ(歴史は紀元前にも及びます)で発見されました。つまり、この値が分かれば、斜面の角度が分かるよ、ということです。上表のようになります。

先ほどの傾斜が10%の坂を考えた場合、a=1000(m)、c=100(m)となるので、tanθはc/a=100/1000=0.1=10%となります。

「標識の10%はこのtanθ＝10%=0.1であること」を示しているのです。

ですから、この値と同じになる角度θを調べれば、斜面の角度が分かります。

表で見ると、θ＝6°となります。

というわけで、この標識のある斜面は6°の傾斜ということを示しているのですね！

 イメージできるでしょうか？

ちなみに、日本で二番目に急な傾斜を登る鉄道が箱根登山鉄道で勾配が8%となっています(ということは、tanθ＝0.8だから、5°くらい)。坂で有名な箱根駅伝の5区の最大勾配は13%(傾斜7.4°)ですから、普通にきつい坂だということがわかると思います。

結構急な割には、傾斜5°くらいなんですね〜。分度器だと大したことないですが、坂の世界ではものすごくきついです。

高校数学「三角比」は、こうした道路など建築物の計算によく使われています。紀元前からのピラミッドの測量術が現代にも生きているのですね。

今回は、高校数学(一年生)の内容を身近に応用できる話題でした。